Résolution analytique d'une équation différentielle du premier ordre

De nombreux systèmes physiques (charge d'un condensateur, échauffement d'un moteur, vitesse d'un mobile freiné par frottement fluide) obéissent à une équation différentielle linéaire du premier ordre, de forme générale τ·ds/dt + s(t) = k·e(t).

La réponse à un échelon

Pour une entrée en échelon d'amplitude E appliquée à partir de t = 0, avec une sortie initiale nulle, la solution analytique de cette équation est : s(t) = k·E·(1 − e^−t/τ). Cette formule donne la valeur exacte de la sortie à n'importe quel instant t.

Lire la constante de temps sur la formule

À t = τ, l'exponentielle vaut e⁻¹ ≈ 0,37, donc la sortie a atteint environ 63 % de sa valeur finale k·E. À t = 3τ, elle atteint environ 95 %, et à t = 5τ, environ 99 % : le régime est alors considéré comme établi.

Une méthode de résolution en trois étapes

Résoudre analytiquement une telle équation suit toujours le même chemin : identifier τ et k à partir de l'équation différentielle donnée, appliquer la formule de réponse à l'échelon correspondant à l'entrée réelle, puis évaluer cette formule aux instants demandés par l'énoncé.

Limite de cette méthode

Cette formule explicite n'existe que pour des équations linéaires à coefficients constants et pour des entrées simples (échelon, rampe). Dès que l'équation devient non linéaire ou que l'entrée est quelconque, il faut recourir à une résolution numérique.

L'essentiel

Réponse à un échelon : s(t) = k·E·(1 − e^−t/τ).
Constante de temps τ : 63 % de la valeur finale atteinte à t = τ, régime établi vers t = 5τ.
Limite : formule valable seulement pour les équations linéaires à entrée simple.

Exercice : calculer un pas de la méthode d'Euler pour un mobile freiné